“Te contradices”, “Ahora defiendes lo que antes rechazabas”, “Rechazas ahora lo que antes aceptabas”. Algunas de las oraciones anteriores son comunes en la argumentación en la que un individuo le cuestiona al otro cómo afirma algo que no debería afirmar para mantener la coherencia de su discurso tomando en cuenta las mismas premisas. El hecho resulta hilarante (al menos para mí no puede dejar de sonrojarme que digan que caigo en contradicciones). Pero el sacrificio que representa ese esfuerzo hace del discurso de tal majestuosidad que corona con ternura una caída premeditada del sistema entero de pensamiento de los próximos 14 días. Con 2 semanas basta para olvidarse de algo así: que te refutaron y que no pudiste decirles nada y que abusaron de su confianza cuando podrían haber sido parcos como para respetar al muerto o moribundo. Tal vez eso no fue lo que pensó Frege cuando recibió una epístola de Russell en la que detallaba cómo su tarea de reducción de la aritmética a la lógica se venía abajo al albergar un germen maligno, al cual lo bautizó como “su paradoja”. Pero, ¿qué es una paradoja? La paradoja es más que una contradicción: no es una contradicción cuya negación sea una tautología; se trata de una contradicción cuya negación es otra contradicción que complementa a la primera. La paradoja es un razonamiento en doble sentido: supone la verdad de algo y concluye su falsedad y supone la falsedad de lo mismo para concluir su verdad. En el caso de Russell, la paradoja comprende una sutileza lógica que no es fácil entender sin un proyecto. En la primera semana, es preciso analizar la estática de la paradoja y en la otra su dinámica. Para llegar a la crítica se requieren de 2 semanas y para llegar a la metafísica otra semana más. En total son 5 semanas de análisis y tratamiento conceptual, que serán sintetizadas en las siguientes líneas. La estática de la paradoja de Russell consiste en describir su modo de ser sin más y de la manera más legible posible. Se trata de ordenar aquello que está vivo y considerarlo como disecado, quieto como cuando vemos cómo las cuchilllas de la licuadora toman forma cuando la ponemos a dar vueltas a cierta velocidad. Ese aparente estado de quietud puede darnos un motivo para esquematizar la paradoja y dedicarnos a la tarea de formularla. Sabemos que un conjunto es una reunión de objetos, pues bien existe la posibilidad de reunir reuniones. A este nuevo conglomerado lo podemos definir como conjunto de conjuntos. Ahora bien, clasifiquemos los conjuntos considerando si son sus propios objetos reunidos. Sabemos que por intuición un conjunto no puede normalmente contenerse a sí mismo, es decir, considerarse a sí mismo como parte del listado de sus elementos. Pero, existen casos particulares (anormales) en el que un conjunto determinado forma parte de sí mismo: el conjunto de las cosas pensable es, a su vez, una cosa pensable; el conjunto de la materia es, a su vez, materia; el conjunto de la información es, a su vez, información, etc. Por el criterio de falta de intuición empírica, clasificaremos los conjuntos bajo el criterio de si se consideran o no a sí mismos como uno de sus elementos; si se consideran entonces serán anormales, si no se consideran, serán normales.
¿Qué pasa con el conjunto de todos los conjuntos normales? ¿Se contiene a sí mismo? Si se contiene entonces es uno de los conjuntos que no se contienen a sí mismos ya que sería uno de sus propios elementos. Recordemos que el conjunto normal es aquel que no está considerado como parte de sus elementos componentes. Por lo tanto, si se contiene entonces no se contiene. Hasta aquí existe una contradicción. ¿Es la única? Claro que no. Señalamos que la paradoja es una conjunción de dos contradicciones siendo una negación de la otra. (Si la negación de una fórmula contradictoria es otra fórmula contradictoria, entonces la lógica de este sistema escepcional pareciera seguir ciertas desviaciones con respecto a la clásica). Tomemos en cuenta que la negación de p→¬p es ¬p →p. Por ello, si considerando que se contiene a sí mismo, hemos probado que el conjunto de todos los conjuntos normales no se contiene a sí mismo, podemos probar que si dicho conjunto no se contiene entonces se contiene. Si el conjunto de todos los conjuntos normales no se contiene a sí mismo, entonces debería formar parte del conjunto de todos los conjuntos normales ya que sería un conjunto normal al no contenerse a sí mismo. Con ello tenemos la estática. La dinámica tratará de explicar lo que sucede en el proceso de construcción y desarrollo de la paradoja russelliana. Tenemos que explicar el movimiento lógico que justifica ambas contradicciones. Partamos del concepto de conjunto. ¿Por qué podría reunir a otros conjuntos? ¿Es necesario que un conjunto tenga especificados todos y cada uno de sus elementos? El conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos ¿existe? ¿Pero si no existe qué es lo que negamos? ¿qué contradecimos? El otro concepto fundamental es el de pertenencia. Un objeto pertenece a un conjunto cuando forma parte del listado de sus elementos o cuando ejemplifica una propiedad que define los elementos de dicho conjunto. Pero ¿cómo sé que el conjunto de todos los conjuntos normales forma parte de algún listado o si ejemplifica o no alguna propiedad relevante para determinar los elementos del conjunto en cuestión? He construido otra versión de la paradoja de Russell usando el conjunto vacío como piedra de toque fundamental. Sabemos que ese conjunto no se contiene a sí mismo puesto que en realidad no tiene elementos. Pero ¿cómo estamos seguros de eso? ¿Por definición? ¿Por necesidad? Imaginemos que el conjunto vacío sea el único que existe. Ahora, formemos un conjunto unitario que contenga a ese solitario conjunto vacío: lo podemos llamar conjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Notemos, que hemos construido un nuevo conjunto, habiendo asumido que no existían más. Intuyo que es posible construir uno así porque no es del mismo tipo. He dicho que el conjunto vacío es el único, pero me faltó mencionar “de su especie”. Si decido hacer otro conjunto que contenga otros conjuntos, no creo que esté errado. Sigamos con la formulación de la paradoja de Russell. Ahora tenemos un conjunto que contiene al conjunto vacío como uno de sus elementos. No contiene otra cosa. Pero ¿podría contener algún otro elemento? Notemos que por construcción no debería contener más que el vacío. Sin embargo, hemos considerado de otra manera a este nuevo conjunto que denominaremos R, en honor a Russell. Usamos el criterio de contener a los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Asumimos que dicho conjunto tendría que ser unitario, pero todo indica que la definición por extensión , es decir nombrando todos y cada uno de los elementos en este caso no es suficiente para determinar por completo los componentes de este nuevo conjunto recién formado. La definición por comprensión es la clave. Si decimos que x es un elemento de R, decimos que x es un conjunto que no se contiene a sí mismo, es decir, que no es elemento de sí mismo. En virtud de esta definición, admitimos la existencia de otros conjuntos (aparte del vacío) como elementos de R. ¿Qué otros elementos aparte del vacío están presentes en R? ¿el mismo conjunto R? Veamos. Si R forma parte del conjunto R (el conjunto de todos los conjuntos normales), entonces R sería un conjunto que se contiene a sí mismo, esto es, sería un conjunto anormal. Pero esto no es admisible, si consideramos que R al ser un elemento de sí mismo debería ser un conjunto normal. Así R es normal porque no es un elemento de sí mismo, y es anormal porque se contiene a sí mismo. Por lo tanto, si se contiene entonces R resulta normal y anormal. Cuando vemos al conjunto R en relación con sus otros semejantes (como el conjunto vacío) extraemos el dato que nos señala su característica de normal por cumplir la propiedad necesaria para formar parte de R. Cuando vemos al conjunto R en relación con R mismo extraemos el dato que no indica su característica de anormal por contenerse a sí mismo. Hay una dimensión interna (relación elemento- conjunto) y otra externa (Relación conjunto-conjunto). Pero ¿y si R no se contiene a sí mismo? Si R sólo tiene como elemento al conjunto vacío (recordemos que este conjunto vacío no se contiene a sí mismo), entonces R es normal dado que no se contiene. Pero esto no resulta creíble puesto que si R no es parte de los conjuntos que no se contienen a sí mismos, entonces ¿parte de qué conjunto es? ¿Queda, por descarte, que sea parte del conjunto de los conjuntos que se contienen a sí mismos? ¿Acaso admitimos el silogismo disyuntivo o el tercio excluso como válidos implícitamente? Si R no se contiene, entonces R sería un conjunto que no se contiene a sí mismo. Esto lo hace parte de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Pero R resulta que es el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Por ello, R contiene a R, es decir es anormal. Pero también es normal ya que ese ha sido nuestro supuesto. El conjunto R se contiene y no se contiene, porque si se contiene entonces no se contiene y si no se contiene entonces se contiene. Pero me parece que no es el mismo R. Cuando construimos R por primera vez lo hacemos así: R ={f}. Al desconstruirlo y volverlo a construir decimos que R={R,f}. Esto no es justo. Veamos por qué. Cuando decimos que R no contiene a R, tenemos R= {f}. Este es un conjunto que no se contiene a sí mismo. Pero R es el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Por ello R={f, R}. Nosotros tomando en cuenta la primera versión de R decimos que R se contiene a sí mismo, es decir: R = {f,R}. Pero entonces, si reemplazamos el R que está dentro de R, tendríamos: R = {f, {f, R}} y luego R = {f, {f, {f, {f, R}}}}. Esto nos lleva a un proceso infinito. Imagino que este segundo R el cual difiere del primero no es el mismo por razones evidentes: mientras uno contiene al vacío el otro contiene algo más. Por ello, optaré por no identificarlos, más bien los distinguiré señalando a uno como R1 y al otro como R2. Así tenemos: R1= {f} y R2= {f,R1}. Y R1 ¹ R2. He notado con cierta libertad que R2 bien podría ser el conjunto potencia del conjunto R1. ¿Será o no será? Investigaré algo sobre la hipótesis del continuo. Nos vemos mañana querido robot.
¿Qué pasa con el conjunto de todos los conjuntos normales? ¿Se contiene a sí mismo? Si se contiene entonces es uno de los conjuntos que no se contienen a sí mismos ya que sería uno de sus propios elementos. Recordemos que el conjunto normal es aquel que no está considerado como parte de sus elementos componentes. Por lo tanto, si se contiene entonces no se contiene. Hasta aquí existe una contradicción. ¿Es la única? Claro que no. Señalamos que la paradoja es una conjunción de dos contradicciones siendo una negación de la otra. (Si la negación de una fórmula contradictoria es otra fórmula contradictoria, entonces la lógica de este sistema escepcional pareciera seguir ciertas desviaciones con respecto a la clásica). Tomemos en cuenta que la negación de p→¬p es ¬p →p. Por ello, si considerando que se contiene a sí mismo, hemos probado que el conjunto de todos los conjuntos normales no se contiene a sí mismo, podemos probar que si dicho conjunto no se contiene entonces se contiene. Si el conjunto de todos los conjuntos normales no se contiene a sí mismo, entonces debería formar parte del conjunto de todos los conjuntos normales ya que sería un conjunto normal al no contenerse a sí mismo. Con ello tenemos la estática. La dinámica tratará de explicar lo que sucede en el proceso de construcción y desarrollo de la paradoja russelliana. Tenemos que explicar el movimiento lógico que justifica ambas contradicciones. Partamos del concepto de conjunto. ¿Por qué podría reunir a otros conjuntos? ¿Es necesario que un conjunto tenga especificados todos y cada uno de sus elementos? El conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos ¿existe? ¿Pero si no existe qué es lo que negamos? ¿qué contradecimos? El otro concepto fundamental es el de pertenencia. Un objeto pertenece a un conjunto cuando forma parte del listado de sus elementos o cuando ejemplifica una propiedad que define los elementos de dicho conjunto. Pero ¿cómo sé que el conjunto de todos los conjuntos normales forma parte de algún listado o si ejemplifica o no alguna propiedad relevante para determinar los elementos del conjunto en cuestión? He construido otra versión de la paradoja de Russell usando el conjunto vacío como piedra de toque fundamental. Sabemos que ese conjunto no se contiene a sí mismo puesto que en realidad no tiene elementos. Pero ¿cómo estamos seguros de eso? ¿Por definición? ¿Por necesidad? Imaginemos que el conjunto vacío sea el único que existe. Ahora, formemos un conjunto unitario que contenga a ese solitario conjunto vacío: lo podemos llamar conjunto de conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Notemos, que hemos construido un nuevo conjunto, habiendo asumido que no existían más. Intuyo que es posible construir uno así porque no es del mismo tipo. He dicho que el conjunto vacío es el único, pero me faltó mencionar “de su especie”. Si decido hacer otro conjunto que contenga otros conjuntos, no creo que esté errado. Sigamos con la formulación de la paradoja de Russell. Ahora tenemos un conjunto que contiene al conjunto vacío como uno de sus elementos. No contiene otra cosa. Pero ¿podría contener algún otro elemento? Notemos que por construcción no debería contener más que el vacío. Sin embargo, hemos considerado de otra manera a este nuevo conjunto que denominaremos R, en honor a Russell. Usamos el criterio de contener a los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Asumimos que dicho conjunto tendría que ser unitario, pero todo indica que la definición por extensión , es decir nombrando todos y cada uno de los elementos en este caso no es suficiente para determinar por completo los componentes de este nuevo conjunto recién formado. La definición por comprensión es la clave. Si decimos que x es un elemento de R, decimos que x es un conjunto que no se contiene a sí mismo, es decir, que no es elemento de sí mismo. En virtud de esta definición, admitimos la existencia de otros conjuntos (aparte del vacío) como elementos de R. ¿Qué otros elementos aparte del vacío están presentes en R? ¿el mismo conjunto R? Veamos. Si R forma parte del conjunto R (el conjunto de todos los conjuntos normales), entonces R sería un conjunto que se contiene a sí mismo, esto es, sería un conjunto anormal. Pero esto no es admisible, si consideramos que R al ser un elemento de sí mismo debería ser un conjunto normal. Así R es normal porque no es un elemento de sí mismo, y es anormal porque se contiene a sí mismo. Por lo tanto, si se contiene entonces R resulta normal y anormal. Cuando vemos al conjunto R en relación con sus otros semejantes (como el conjunto vacío) extraemos el dato que nos señala su característica de normal por cumplir la propiedad necesaria para formar parte de R. Cuando vemos al conjunto R en relación con R mismo extraemos el dato que no indica su característica de anormal por contenerse a sí mismo. Hay una dimensión interna (relación elemento- conjunto) y otra externa (Relación conjunto-conjunto). Pero ¿y si R no se contiene a sí mismo? Si R sólo tiene como elemento al conjunto vacío (recordemos que este conjunto vacío no se contiene a sí mismo), entonces R es normal dado que no se contiene. Pero esto no resulta creíble puesto que si R no es parte de los conjuntos que no se contienen a sí mismos, entonces ¿parte de qué conjunto es? ¿Queda, por descarte, que sea parte del conjunto de los conjuntos que se contienen a sí mismos? ¿Acaso admitimos el silogismo disyuntivo o el tercio excluso como válidos implícitamente? Si R no se contiene, entonces R sería un conjunto que no se contiene a sí mismo. Esto lo hace parte de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Pero R resulta que es el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Por ello, R contiene a R, es decir es anormal. Pero también es normal ya que ese ha sido nuestro supuesto. El conjunto R se contiene y no se contiene, porque si se contiene entonces no se contiene y si no se contiene entonces se contiene. Pero me parece que no es el mismo R. Cuando construimos R por primera vez lo hacemos así: R ={f}. Al desconstruirlo y volverlo a construir decimos que R={R,f}. Esto no es justo. Veamos por qué. Cuando decimos que R no contiene a R, tenemos R= {f}. Este es un conjunto que no se contiene a sí mismo. Pero R es el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Por ello R={f, R}. Nosotros tomando en cuenta la primera versión de R decimos que R se contiene a sí mismo, es decir: R = {f,R}. Pero entonces, si reemplazamos el R que está dentro de R, tendríamos: R = {f, {f, R}} y luego R = {f, {f, {f, {f, R}}}}. Esto nos lleva a un proceso infinito. Imagino que este segundo R el cual difiere del primero no es el mismo por razones evidentes: mientras uno contiene al vacío el otro contiene algo más. Por ello, optaré por no identificarlos, más bien los distinguiré señalando a uno como R1 y al otro como R2. Así tenemos: R1= {f} y R2= {f,R1}. Y R1 ¹ R2. He notado con cierta libertad que R2 bien podría ser el conjunto potencia del conjunto R1. ¿Será o no será? Investigaré algo sobre la hipótesis del continuo. Nos vemos mañana querido robot.
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